Logika Matematika

Pernyataan, Negasi, Tautologi, Kontradiksi, & Implikasi

1.    Pernyataan

Suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya dan tidak sekaligus benar dan salah disebut pernyataan. Pernyataan juga disebut Kalimat Deklaratif. Perhatikan contoh-contoh berikut, manakah yang merupakan pernyataan:

1. Matahari terbit di sebelah timur.
2. Semarangberada di Jawa Tengah.
3. 3 adalah bilangan genap.
4. Terdapat 31 hari pada bulan September.
5. Gadis di depanku cantik sekali.
6. x + 3 = 7.

Dari contoh diatas yang merupakan pernyataan adalah kalimat 1,2,3,4 sedangkan kalimat 5 dan 6 bukan pernyataan karena tidak bisa ditentukan nilai kebenarannya.

Setiap pernyataan memiliki nilai kebenaran. Pernyataan yang benar nilai kebenarannya B. Pernyataan yang salah nilai kebenarannya S.

Latihan Soal

Tentukan manakah yang merupakan pernyataan dan bukan pernyataan !!!

1. Matahari terbenam di sebelah Barat.

2. 1+2=3

3. Wanita itu sangat rajin bekerja.

4. Siapa orang itu?

5. Bagaimana kabarmu?

Jawab :

Yang merupakan pernyataan adalah no.1 dan 2. Sedangkan no.3,4,5 bukan pernyataan. No.4 dan 5 adalah pertanyaan.

2.    Negasi atau Ingkaran

Ingkaran suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang disusun dari pernyataan semula sehingga nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Jika p adalah suatu pernyataan yang bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah. Ingkaran dari pernyataan p ditulis (-p) dibaca ingkaran p atau negasi p.

Perhatikan contoh berikut :

1.   p : 17 adalah bilangan prima. (B)

-p : 17 adalah bukan bilangan prima. (S)

       2.          p : 6 + 5 = 11. (B)

-p : 6 + 5 ≠ 11. (S)

3.  p : Ada bulan yang jumlah harinya 31 hari. (B)

-p :Tidak benar bahwa ada bulan yang jumlah harinya 31 hari. (S)

Latihan Soal

Tentukan negasi dari pernyataan berikut !!!

1.    p : 2 adalah bilangan genap. (B)

2.    p : Matahari terbit dari sebelah timur.

3.    p : Satu tahun ada 12 bulan. (B)

Jawab :

1.    –p : 2 adalah bukan bilangan genap. (S)

2.    –p : Matahari tidak terbit dari sebelah timur. (S)

3.    –p : Tidak benar bahwa satu tahun ada 12 bulan. (S)

3.    Implikasi

Jika dua pernyataan p dan q digabungkan dengan kata “jika p maka q”  pernyataan tersebut disebut implikasi yang dilambangkan dengan  p q, implikasi tersebut dapat dibaca :

1. Jika p maka q.
2. p berimplikasi q.
3. q hanya jika p.
4. p syarat cukup untuk q.

Pada implikasi “p q”, p disebut Anteseden (hipotesis) dan q disebut Konsekuen (kesimpulan).

Latihan Soal

Tentukan implikasi dari pernyataan berikut !!!

1.    p : Hari ini adalah Minggu.

q : Besok hari Senin.

2.    p : 3+3=6.

q : 6 adalah bilangan genap.

3.    p : Kelipatan 2 adalah bilangan genap.

q : 12 adalah kelipatan 2.

Jawab :

1.    p q : Jika hari ini adalah minggu maka besok hari Senin.

2.    p q : Jika 3+3=6 maka 6 adalah bilangan genap.

3.    p q : Jika kelipatan 2 adalah bilangan genap maka 12 adalah kelipatan 2.

Tautologi dan Kontradiksi

Perhatikan table kebenaran berikut :

p	Q	p q	(p q) p	((p q) p q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Nilai kebenaran pada pernyataan majemuk diatas adalah semua benar (B) hal seperti itu dinamakan Tautologi.

Sedangkan pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya semua S dinamakan Kontradiksi.

Perhatikan table kebenaran berikut ;

p	q	p  q	-(p  q)	-(p  q)  p
B	B	B	S	S
B	S	B	S	S
S	B	B	S	S
S	S	S	B	S