Relasi Komposisi dan Relasi Invers

Apa itu Relasi?

Dalam fungsi matematika dikenal adanya relasi. Relasi merupakan hubungan antara satu himpunan dengan himpunan lain.

Contoh :

A = {1,2,3,4} dan B = {1,2,3,4,5,6} jika kita kaitkan kedua himpunan dengan hubungan "A merupakan setengah dari B" maka relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut

Suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf (f).

Fungsi Komposisi

Menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan dua fungsi tersebut disebut dengan mengkomposisikan fungsi dan hasilnya disebut komposisi fungsi.

Contoh soal :

Jika f(x) = 2x² + 1 dan g(x) = x+2
tentukan
a. (g o f ) (x)
b. (f o g) (3)
c. (f o g) (x)

Jawab :

a.      (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x²+1)

          = 2x²+1 + 2 = 2x²+3

b.     (f o g) (3) = 2(3)² + 8(3) + 9 = 51

c.      (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f
(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)² +1 = 2 (x²+4x+4) +1 = 2x² + 8x +8 + 1 = 2x² + 8x + 9

INVERS

Fungsi f: A → B maka invers fungsi dari f dinyatakan dengan f-1: B → A .

Jika y = f(x) maka x = f^-1(y).

Menentukan Invers Suatu Fungsi

• Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya dengan y.
• Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y.
• Mengganti y dalam fungsi menjadi x.

Contoh Soal :

1.      Tentukan invers dari fungsi   f(x) = 2x + 6
Pembahasan
f(x) = 2x + 6
misal y = 2x + 6
2x = y – 6
x = ½ y – 3
f^-1(y) = ½ y – 3 atau f^-1(x) = ½ x – 3

2.    Tentukan invers dari fungsi  f(x) = 4x + 8

Pembahasan

f(x) = 4x + 8

misal y = 4x + 8

4x = y – 8

x = 1/4y – 2

f ^-1(y)= 1/4y – 2 atau  f ^-1(x) = 1/4x – 2

3.    Tentukan invers dari fungsi  f(x) = 5x – 15

Pembahasan

f(x) = 5x – 15

misal y = 5x – 15

5x = y + 15

x = 1/5y + 3

f ^-1(y) = 1/5y + 3 atau f ^-1(x)= 1/5x + 3