Logika Matematika

Pernyataan, Negasi, Tautologi, Kontradiksi, & Implikasi

1.    Pernyataan

Suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya dan tidak sekaligus benar dan salah disebut pernyataan. Pernyataan juga disebut Kalimat Deklaratif. Perhatikan contoh-contoh berikut, manakah yang merupakan pernyataan:

1. Matahari terbit di sebelah timur.
2. Semarangberada di Jawa Tengah.
3. 3 adalah bilangan genap.
4. Terdapat 31 hari pada bulan September.
5. Gadis di depanku cantik sekali.
6. x + 3 = 7.

Dari contoh diatas yang merupakan pernyataan adalah kalimat 1,2,3,4 sedangkan kalimat 5 dan 6 bukan pernyataan karena tidak bisa ditentukan nilai kebenarannya.

Setiap pernyataan memiliki nilai kebenaran. Pernyataan yang benar nilai kebenarannya B. Pernyataan yang salah nilai kebenarannya S.

Latihan Soal

Tentukan manakah yang merupakan pernyataan dan bukan pernyataan !!!

1. Matahari terbenam di sebelah Barat.

2. 1+2=3

3. Wanita itu sangat rajin bekerja.

4. Siapa orang itu?

5. Bagaimana kabarmu?

Jawab :

Yang merupakan pernyataan adalah no.1 dan 2. Sedangkan no.3,4,5 bukan pernyataan. No.4 dan 5 adalah pertanyaan.

2.    Negasi atau Ingkaran

Ingkaran suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang disusun dari pernyataan semula sehingga nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Jika p adalah suatu pernyataan yang bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah. Ingkaran dari pernyataan p ditulis (-p) dibaca ingkaran p atau negasi p.

Perhatikan contoh berikut :

1.   p : 17 adalah bilangan prima. (B)

-p : 17 adalah bukan bilangan prima. (S)

       2.          p : 6 + 5 = 11. (B)

-p : 6 + 5 ≠ 11. (S)

3.  p : Ada bulan yang jumlah harinya 31 hari. (B)

-p :Tidak benar bahwa ada bulan yang jumlah harinya 31 hari. (S)

Latihan Soal

Tentukan negasi dari pernyataan berikut !!!

1.    p : 2 adalah bilangan genap. (B)

2.    p : Matahari terbit dari sebelah timur.

3.    p : Satu tahun ada 12 bulan. (B)

Jawab :

1.    –p : 2 adalah bukan bilangan genap. (S)

2.    –p : Matahari tidak terbit dari sebelah timur. (S)

3.    –p : Tidak benar bahwa satu tahun ada 12 bulan. (S)

3.    Implikasi

Jika dua pernyataan p dan q digabungkan dengan kata “jika p maka q”  pernyataan tersebut disebut implikasi yang dilambangkan dengan  p q, implikasi tersebut dapat dibaca :

1. Jika p maka q.
2. p berimplikasi q.
3. q hanya jika p.
4. p syarat cukup untuk q.

Pada implikasi “p q”, p disebut Anteseden (hipotesis) dan q disebut Konsekuen (kesimpulan).

Latihan Soal

Tentukan implikasi dari pernyataan berikut !!!

1.    p : Hari ini adalah Minggu.

q : Besok hari Senin.

2.    p : 3+3=6.

q : 6 adalah bilangan genap.

3.    p : Kelipatan 2 adalah bilangan genap.

q : 12 adalah kelipatan 2.

Jawab :

1.    p q : Jika hari ini adalah minggu maka besok hari Senin.

2.    p q : Jika 3+3=6 maka 6 adalah bilangan genap.

3.    p q : Jika kelipatan 2 adalah bilangan genap maka 12 adalah kelipatan 2.

Tautologi dan Kontradiksi

Perhatikan table kebenaran berikut :

p	Q	p q	(p q) p	((p q) p q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Nilai kebenaran pada pernyataan majemuk diatas adalah semua benar (B) hal seperti itu dinamakan Tautologi.

Sedangkan pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya semua S dinamakan Kontradiksi.

Perhatikan table kebenaran berikut ;

p	q	p  q	-(p  q)	-(p  q)  p
B	B	B	S	S
B	S	B	S	S
S	B	B	S	S
S	S	S	B	S

Fungsi, Domain, Kodomain, dan Range

Definisi Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif.

Domain, Kodomain, dan Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Pada relasi dari himpunan P ke Q, himpunan P disebut Domain (daerah asal) himpunan  Q disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota Q yang mendapat pasangan dari P disebut Range (derah hasil).

Latihan Soal

1.     Diketahui himpunan A={3,4,6,8,10} dan himpunan B={6,8,12,16,20,24,28}. Himpunan A merupakan setengah dari himpunan B. Tentukan domain, kodomain, dan range!!

Jawab :

Domain : Himpunan A={3,4,6,8,10}

Kodomain : Himpunan B={6,8,12,16,20,24,28}

Range : {6,8,12,16,20}

2.     Diketahui himpunan B merupakan tiga kali dari himpunan A. Jika himpunan A={2,3,4,5,6,7} dan yang tak punya pasangan dari himpunan B adalah 30,33,35, tentukanlah himpunan B, domain, kodomain, dan range!!

Jawab :

Himpunan B=3xHimpunan A, dan yang tak punya pasangan adalah 30,33,35, maka Himpunan B={6,9,12,15,18,21,30,33,35}.

Domain : Himpunan A={2,3,4,5,6,7}

Kodomain : Himpunan B={6,9,12,15,18,21,30,33,35}

Range : {6,9,12,15,18,21}

3.     Jika himpunan A={Andi, Budi, Rizky, Sandy, Patrick}, himpunan B={Anastasya, Berta, Lusi, Karin, Meta, Rina, Sabrina, Patricia} dan relasi dari kedua himpunan tersebut adalah bedasarkan inisial huruf pertama dari nama, maka tentukanlah domain, kodomain, dan range!!

Jawab :

Domain : Himpunan A={Andi, Budi, Rizky, Sandy, Patrick}

Kodomain : Himpunan B={Anastasya, Berta, Lusi, Karin, Meta, Rina, Sabrina, Patricia,}

Range : {Anastasya, Berta, Rina, Sabrina, Patricia}

Sumber : http://alinelizabeth2.blogspot.com/2013/06/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html